五年级 第一讲 三角形数
1.你能算出每堆各有多少个吗?
2.能不能把9个物体按上面的规律排成一个横截面是三角形的一堆呢?
3.能不能把25个物体按上面的规律排成一个横截面是三角形的一堆呢?
像上面的l、3、6、10、15这些能够表示成三角形的形状的总数量的数,叫做三角形数。
【例1】数一数,下面的苹果,每堆各个几个,有什么规律?如果继续下去,第9堆是多少个?第22堆是多少个?
【思路点拨】这看似一个简单的问题,但我们应该学会“举一反三找规律”这一学习与探究的方法。先找到规律,再运用规律来分析问题和解决问题。
【例2】第几个三角形数是406?
【思路点拨】根据上面例题中找到的规律,我们用“反推法”来解答。
解:设第N个三角形数是406。
因为N个自然数的和是406,也即(1+N)·N÷2=406。于是,(1+N)·N=812,由此可以知道两个相邻数的乘积是812。把812分解成多个数的乘积,812=2×2×7×29,很容易想到812=28×29,N=28。
观察这些三角形数,你发现它们有什么规律吗?
1.原来三角形数是从l开始的连续自然数的和。
l是第一个三角形数,3是第二个三角形数,6是第三个三角形数,10是第四个三角形数,15是第五个三角形数……
那么,第七个三角形数就是:l+2+3+4+5+6+7=28; 第九个三角形数就是:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45; 第十个三角形数就是:1+2+3+…+10=55…… 第100个三角形数就是:l+2+3+…+100=5050。
2.进一步地,我们还可以发现如下规律:后一个三角形数总是比前一个三角形数多最下面一层,也就是多的个数正好等于这个三角形数的“数标”。举例说明:第10个三角形数比第9个三角形数多10,第100个三角形数比第99个三角形数多100,以此类推。
特别地,如果知道了第几个三角形数是多少,要求是第几个三角形数,就要设未知数N,推断可能是哪两个相邻数的乘积,进而推断是第几个三角形数。
你能解答出下面各题吗?争取100分哟!(每题20分,共100分)
1.第15个和第16个三角形数相差多少?
2.第17个三角形数比第18个三角形数少多少?
3.用点子画出第10个三角形数,数一数一共有多少个点子?
4.求l+2+3+…+30的和,它是第几个三角形数?
5.第40个三角形数是多少?
奇妙的“三角形数”
从第1个三角形数到第18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……
第n个三角形数的公式是 ,第n个三角形数是开始的n个自然数的和。
开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 =102)
所有三角形数的倒数之和是2。
任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。比如,1×8+1=9,是3的平方;3×8+1=25,是5的平方;6×8+1=49,是7的平方……
一部分三角形数(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式来表示:n × (2n + 1);而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用n × (2n - 1)来表示。
55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。
第11个三角形数(66)、第1111个三角形数(617,716)、第111,111个三角形数(6,172,882,716)、第11,111,111个三角形数(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形数,但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。
三角形数还有一个特点就是:如果将所有边形的数都整整齐齐地由左到右画在表格里,你就会发现:表格中每一列的数间隔都一样,而且均为前一列的三角形数(如下表)。
三角形数 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 |
正方形数 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 |
五边形数 | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 |
六边形数 | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 |
例如,表格第2列3、4、5、6,间隔为1;表格第3列6、9、12、15,间隔为3。而且间隔数1和3,正好也是相应的前一列的三角形数。