五年级 第一讲　三角形数

1.你能算出每堆各有多少个吗？

2.能不能把9个物体按上面的规律排成一个横截面是三角形的一堆呢？

3.能不能把25个物体按上面的规律排成一个横截面是三角形的一堆呢？

像上面的l、3、6、10、15这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。

【例1】数一数，下面的苹果，每堆各个几个，有什么规律？如果继续下去，第9堆是多少个？第22堆是多少个？

【思路点拨】这看似一个简单的问题，但我们应该学会“举一反三找规律”这一学习与探究的方法。先找到规律，再运用规律来分析问题和解决问题。

【例2】第几个三角形数是406？

【思路点拨】根据上面例题中找到的规律，我们用“反推法”来解答。

解：设第N个三角形数是406。

因为N个自然数的和是406，也即（1+N）·N÷2=406。于是，（1+N）·N=812，由此可以知道两个相邻数的乘积是812。把812分解成多个数的乘积，812=2×2×7×29，很容易想到812=28×29，N=28。

观察这些三角形数，你发现它们有什么规律吗？

1．原来三角形数是从l开始的连续自然数的和。

l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数……

那么，第七个三角形数就是：l＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28； 第九个三角形数就是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45； 第十个三角形数就是：1＋2＋3＋…＋10＝55…… 第100个三角形数就是：l＋2＋3＋…＋100＝5050。

2．进一步地，我们还可以发现如下规律：后一个三角形数总是比前一个三角形数多最下面一层，也就是多的个数正好等于这个三角形数的“数标”。举例说明：第10个三角形数比第9个三角形数多10，第100个三角形数比第99个三角形数多100，以此类推。

特别地，如果知道了第几个三角形数是多少，要求是第几个三角形数，就要设未知数N，推断可能是哪两个相邻数的乘积，进而推断是第几个三角形数。

你能解答出下面各题吗？争取100分哟！（每题20分，共100分）

1．第15个和第16个三角形数相差多少？

2.第17个三角形数比第18个三角形数少多少？

3.用点子画出第10个三角形数，数一数一共有多少个点子？

4．求l＋2＋3＋…＋30的和，它是第几个三角形数？

5．第40个三角形数是多少？

奇妙的“三角形数”

从第1个三角形数到第18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……

第n个三角形数的公式是  ，第n个三角形数是开始的n个自然数的和。

开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 =10²）

所有三角形数的倒数之和是2。

任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。比如，1×8+1=9，是3的平方；3×8+1=25，是5的平方；6×8+1=49，是7的平方……

一部分三角形数（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示：n × (2n + 1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用n × (2n - 1)来表示。

55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。

第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617,716）、第111,111个三角形数（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形数（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。

三角形数还有一个特点就是：如果将所有边形的数都整整齐齐地由左到右画在表格里，你就会发现：表格中每一列的数间隔都一样，而且均为前一列的三角形数（如下表）。

例如，表格第2列3、4、5、6，间隔为1；表格第3列6、9、12、15，间隔为3。而且间隔数1和3，正好也是相应的前一列的三角形数。