六年级 第一讲　数列的计算

同学们，你们知道数列吗？它是一列有序的数。这些数列有时就像一个梯田一样美丽！

请你仔细观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律在括号中填上合适的数。

（1）1，2，4，8，16，（　），64，128；

（2）45，36，28，21，（　），10，6，3，1；

（3）1，2，6，24，120，（　），5040；

（4）32，16，48，24，72，36，（　），54，162；

同学们填出来了吗？

　按照一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都是这个数列的项。数列问题一般有两类：一是找规律，求出数列中的某一项；二是求数列中某些项的和。

通过找规律，我们慢慢地就能解决上面的问题，他们的答案如下：

【例1】计算下列各数的值。

（1） 1+3+5+7+9+…97+99

（2） （2+4+6+8+…1998+2000+2002）－（1+3+5+7+…+1997+1999+2001）

【思路点拨】仔细观察（1）式中各数的特点，发现这是一个等差数列，共有50个数，相邻两数的差（称为公差）为2，首项为1，末项为99。如果将这50个数分组，可得

1+3+5+7+9+…97+99＝（1+99）+（3+97）+（5+95）+…+（49+51），这样的和共共50÷2＝25组。于是：

原题＝100+100+100+…+100　（共25个）

　　＝100×25

　　＝2500

由此可得到等差数列的和的计算公式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2。

在(2)式中只要分别求出2+4+6+8+…1998+2000+2002及1+3+5+7+…+1997+1999+2001的和就可以了。这两个数列都是等差数列，如能知道它们的项数，就可运用等差数列的求和公式了。

在等差数列中有，第2项＝首项＋公差，第3项＝首项＋公差×2，第4项＝首项＋公差×3……末项＝首项＋公差×（项数－1），所以，项数＝（末项－首项）÷公差＋1。

因此，2+4+6+8+…1998+2000+2002的项数为（2002－2）÷2＋1＝1001

于是，2+4+6+8+…1998+2000+2002＝（2+2002）×1001÷2＝1003002

1+3+5+7+…+1997+1999+2001＝（1+2001）×1001÷2＝1002001

所以，（2+4+6+8+…1998+2000+2002）－（1+3+5+7+…+1997+1999+2001）＝1003002－1002001＝1001。

【例2】20个连续偶数的和为2380，那么这些数中最大的偶数是多少？

【思路点拨】20个连续的偶数组成一个数列，由于相邻两项的差都是2，所以是等差数列，可知，第2项＝第1项＋2，第3项＝第1项＋4，…末项＝第1项＋（20－1）×2，即20项＝第1项＋38。下面我们可设首项是X，根据“等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2”列方程来解答这个问题。

解：设设首项为X，列方程得：2380＝（X＋X+38）×20÷2，2X=200，X=100

所以，最大偶数为100＋38＝138。

【思路点拨】

同学们不妨先观察一下每一个分数的分子和分母，找出这一串分数排列的规律：

分母是1的分数有几个？分母是2的分数有几个？它的分子是怎样排列的？分母是3或4的分数呢？不难看出：

是第71个分数和第75个分数。

对于第二个问题“第330个分数是几分之几”的解答，这个有一定的难度。我们可以这样思考：

分母是1，2，3，4，5，6，7，8，9，…的分数个数分别是1，3，5，7，9，11，13，15，…，经过试算，分母从1到18，共有分数的个数是：1+3+5+…+35＝324（个），从第325个开始是分母为19的分数，

任何事物的发展变化都是有规律可循的，解决数列问题，关键是找出规律。

　　要找规律，就要靠细致的观察和认真的比较，分析，有时还必须先考虑几个简单的问题，作一些简单的试算与推理，慢慢地我们一定会找到变化的规律。然后，我们就可以运用这个规律，去解决类似的问题了。

你能解答出下面各题吗？争取100分哟（每题20分，共100分）

1．计算：1900+1904+1908+……+2004+2008

2． 写成循环小数后，小数点后第200个数字是几？

4．21个连续自然数的和是2016，求这21个数中最小的数是多少？

5．1～1991这1991个自然数中，所有的奇数之和与所有的偶数之和的差是多少？

有女善织与有女不善织

“有女善织”是我国古代《九章算术》中的一个有趣的问题。该问题大意是：有一个善于织布的妇女，每天织的布都比上一天翻一番，五天共织了五匹布，问她五天各织了多少丈布？（古时一匹等于4丈）

要求这个妇女五天各织多少布？关键是要求出第一天织了多少布。由题目可知，“五天共织了五匹布”。每天织布量只知道“都比上一天翻一番”。根据这一条件，我们可以这样思考：设第一天的织布量为“1”，那么翻一番后第二天到第五天的织布量分别为“2”、“4”、“8”、“16”。

的布应该是这个数的一半，即180÷2=90（尺）。

上面的这些运算技巧给我们带来很多的启示，值得我们去学习与借鉴。