第六讲:漫谈分数教材编排与概念教学

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第六讲:漫谈分数教材编排与概念教学

* 来源 : 尝试教学在线 * 作者 : admin * 发表时间 : 2017-09-22 * 浏览 : 240

常州大学尝试教育科学研究院 / 邱学华

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从与美国教授的对话谈起——兼论学习分数的价值


应华东师范大学邀请,2013年7月,美国科学院院士、威斯康星大学教授、国际著名数学家阿士凯先生首次来华参加学术会议。经马立平博士介绍,我们在上海南京路的一家茶餐厅见面。

在谈到美国的数学教育时,阿士凯先生饶有兴致地举出国际数学与科学测试(TIMSS)针对初二学生的一道分数减法应用题:1/3-1/4等于多少?他在一张纸上写着各国学生的正确率:国际平均37%,美国29%,日本65%,韩国87%。几个发达国家相比,美国的成绩最差,有1/3的美国学生都认为1/3-1/4等于(1-1)/(3-4)。这暴露了美国基础教育的问题非常严重。

这个事实,我们可从另外一个角度来思考,初二的学生都不知道计算异分母分数的减法必须先通分,以此为基础的分式运算和解分式方程,学生就更无法理解了。美国数学教育的问题出在小学数学的基础没有打好。

有人问一个数学家,小学数学是中学数学的基础,哪些内容与后续学习数学关系密切呢?这位数学家回答说,应该是除法和分数。这个观点值得我们思考和研究。

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分数教材编排的历史考证——兼论中国小学数学教材的创新



对于分数的教材编排,历来有争论,主要是分数在前,还是小数在前之争。

1.分数在前论

学完整数后,先学分数,再学小数。因为小数是十进分数,先有分数概念,再引出小数,符合数学发展的规律。另外,在西方,分数用的较早,如1/2磅、1/2升、3/10公顷等,所以西方的教材大都采用分数在前的编排。

2.小数在前论

学完整数后,先学小数,再学分数。小数四则运算的运算法则同整数基本相同,仅是多了个小数点处理问题,学完整数接着学小数,顺理成章。这样既能借助整数知识基础,趁热打铁把小数拿下,又能减少学时,减轻学生负担,符合中国人习惯用小数的实际,如2.5元、1.5千米、3.8吨等。

但这样编排,在数理上缺乏严谨,不能从十进分数的基础引出小数,只能从生活中引出小数。

以上两种编排方法各有利弊,在我国都试用过。那么,既然各有利弊,能否把两者结合起来,取长补短,走中间道路呢?因而,在中国,第三种编排方法随之出现。

3.分数两步走

整数学习结束后,先学分数的初步认识,接着学小数,小数学完后再学分数。这样安排切合中国的国情,便于整数四则运算的知识基础正迁移到小数四则运算。在学生初步认识分数后,教师从十进分数引出小数,也不失数学上的严谨性。这是一个两全其美的办法,不仅显示了中国人的智慧,也使小学数学教材具有中国特色。

有些教师对分数教学为什么要分成两个阶段不理解,认为是多此一举。看完我上面的解读是不是有所领悟了。

有些教师并不知晓其中的原因,在第一阶段(分数的初步认识)有冒进现象,把第二阶段的内容提前教了。分数的初步认识,特别要把握“初步”两字的含义,切记不能越界。这阶段并没有正式学习分数,仅是初步认识一下,为下面学习小数孕伏一下知识基础,为学习小数做好准备,不要出现分数意义、性质、单位等概念。什么叫分数,教材上只说:“像1/2、1/3、1/4、1/5这样的数,都是分数”。因此,学生仅是感性认识一下分数。在教学小数的初步认识时,教师要举例强调十进分数的重要性,如1/10+3/10,1/10+7/10等。


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“什么是分数”的追问——兼论分数概念引入的比较研究


有一次我到学校听课,教师上课的内容是分数的意义,这堂课很生动。下课后,我问学生:“什么是分数?”学生竟回答:“分数就是吃月饼。”这令人啼笑皆非。

原来,这位教师用吃月饼引出分数,后面也一直用吃月饼举例,并用多媒体课件出示全家中秋吃月饼的情境图。生动却单一的情境掩盖了数学抽象的本质,这是教学中常出现的毛病。

当下数学课堂强调情境导入,但也要注意不当的情境导入,会把学生引入歧途。数学的一个重要特征是抽象,运用符号思考。如果分数概念还停在吃月饼上就很难进一步学习分数知识了。

从具体到抽象,这是形成数学概念的规律,但不是所有的数学概念都能在生活中找到原型,而是从低级概念上升到高一级概念。在具体到抽象的过程中,我们要从众多的事物中抽象,才能揭示数学概念的本质属性。例如:从5个人、5支铅笔、5个圆抽象出“5”。这个抽象的“5”,已经不是具体的5个人、5支铅笔、5个圆。

同理,从1/4块月饼、1/4堆煤、1/4个圆……抽象出1/4,这个抽象的1/4已经不是1/4块月饼、1/4堆煤,1/4个圆。

综上所述,教师举例不能单一,要突出一个主旨,哪一种是主要的方法。我查阅了几套教材都不太理想。我认为,从测量中引出分数较好。学生用米尺测量黑板,量了3次还多一段用什么办法表示出来,如下:

3米40厘米,3.4米,米

这个办法的优点是:①从测量中引出分数符合数学发展的历史事实;②学生体验到,由于实际需要才产生新的数;③把整数、小数、分数统一起来了;④这个办法简单,农村学校也能做到,学生也容易接受。

以前我也上过这堂课,用了更简单的办法。我在黑板上用简笔画画苹果,先画6个,再画4个、 2个、1个,最后画半个,让学生一一写上数字,直到半个苹果怎样表示。学生无法用整数表示,必须引进新的数才能解决问题。这样就很自然地出现了分数。由于学生已经学过分数的初步认识,他们会说一半、1/2、0.5。

从以上两例看出,小学数学既简单又不简单,用什么方法引进新的概念,大有讲究,值得我们研究与创新。


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分数概念中哪个是核心概念?——兼论分数单位概念的重要性


分数教材内容中概念多,如分数意义、分数基本性质、分数单位、真分数、假分数、约分、通分等。正由于概念多,给学生学习带来一定的困难。

借用现在核心素养的提法,这么多分数概念中哪一个是“核心”?这个问题,各人看法不一。我认为,应该是“分数单位”。后续的分数四则运算,都要运用到分数单位概念,才能说得清楚。现在教材中表述分数单位就一句话:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫分数单位。接下来,教材再安排几道简单的题目,并没有把“分数单位”放在重要的位置上。20世纪80年代初,我为上海教育出版社写过一本儿童读物《数学信箱:分数》,其中就有一个问题:“分数有单位吗?”书中这样回答:

计量首先要有单位,计量的结果无非就是表示被计量的量中有多少个单位。例如,5米表示5个1米,3吨表示3个1吨,等等。

计数也有单位,自然数的单位就是1。任何一个自然数都是由若干个1组成的。例如,8是8个1组成的,13是由13个1组成的,等等。

分数有没有单位呢?我们来观察图1:


从图1中可以看到,3/4是由3个1/4组成的。7/8是由7个1/8组成的,11/6是由11个1/6组成的。这里,1/4、1/8、1/6在分数中起着与计量单位和自然数单位相同的作用,称作分数单位。

一般地说,n分之m的分数单位是n分之一,它表示把单位“1”平均分成n份,取其中的一份。分数单位是由分母(即单位“1”平均分成的份数)决定的,而分子则表示有几个这样的分数单位。所以,分母不同,分数单位也就不同。

书中这样回答,通俗易懂,不妨讲给学生听。

我建议在引进分数单位时,可以用分母是代数式举例。例如,(X-3)分之5,分母是(x-3),分数单位是(X-3)分之1。这样可以消除学生对分数认识的思维定式,为学生今后学习分式扫除障碍。小学生学过字母表示数以后,很容易理解。为了发展学生思维,教师可以提出一些挑战题,让学生思考。如(X-3)分之5中,除了什么数,x还可以代表任何自然数?答案是“3”,因为分母不能为零。■


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