基于尝试教学法的“加权平均数”教学实践与思考
江苏省常州市武进区湖塘实验中学 张伟俊
邱学华先生创立的尝试教学法，以“学生能尝试、尝试能成功、成功能创新”为理论核心，以“先学后教、先练后讲”为操作策略，在教学实践中产生了巨大的影响。2012年3月，江西省上饶县区域整体推进尝试教学法，我应尝试教学理论研究会的邀请，跟随邱学华老师一起赴江西省上饶县送教，执教《加权平均数》，得到了邱学华老师的悉心指导，收获颇多。本文将简录其教学过程，供读者参考与研究。
“加权平均数”是人教版八年级下册第20章第1节第一课时的内容。其主要内容是在学生学习了算术平均数的基础上，引入加权平均数，刻画一组数据的平均水平。算术平均数和加权平均数在本质上是一致的，算术平均数可以理解成是“权”相等的加权平均数。因此，学生对算术平均数的认识对学生理解加权平均数具有积极意义。教学中，教师要唤醒学生已有知识和经验，引导学生通过自主尝试、合作学习从算术平均数自然走向加权平均数。
一、教学简录
第一阶段：课前尝试，准备练习
课前，教师设计如下尝试练习，供学生课前准备性学习。
1、某次数学竞赛前十名同学的成绩分别为（单位：分）：135，125，125，125，120，120，120，120，110，110。求出这10名学生的平均成绩。（你能用几种不同的方法解决这个问题呢？请你尝试一下哦！）
2、八年级（1）班有学生48人，八年级（2）班有学生52人。（1）班学生的平均分为92分，（2）班学生的平均分为90分。这两班100名学生的平均分是多少？
第二阶段：课堂展示，矫正互学
教师：同学们，课前你们完成了两道尝试题。下面先请同学们来展示一下第一个问题的解题思路。
学生1：根据平均数的求法，将10个数字加起来的和除以10，得到121。
学生2：我发现这些数据在120周围波动，所以我先将每个数据都减去120得到一组新数据，再求出这组新数据的平均数为1，最后得到原来10个数据的平均数为120+1=121。
学生3：我的计算方法是。
教师：三位同学讲得非常精彩，以上三种方法正是我们求算术平均数常用的方法。下面，请同学来展示第二个问题的解答思路。
学生4：两个班的平均分为。
学生5：他的做法不对，因为平均数的求法是一组数据中所有数据之和除以数据的个数，所以正确的解法为：。
教师：嗯，解释的很到位。事实上，这两道题都是我们以前学习的算术平均数的问题，我们可以将它提炼一下：一般地，对于n个数，，…，，我们把叫做这n个数的算术平均数。今天，我们就在这个基础上，来进一步研究“加权平均数”。
第三阶段：尝试解题，探究新知
教师出示尝试题：小明上学期的数学平时成绩、期中成绩、期末成绩分别为85、90、92，如果这三项成绩分别按20％、30％和50％的比例计算总评成绩，那么小明上学期的数学总评成绩为多少？
教师：同学们，这道题就是这堂课我们要学习的新内容，老师还没教，但老师想请三位同学到黑板上来做一做，谁敢来尝试一下？
（三位学生上黑板板演，其他学生在学案上完成。完成后，集体评改。）
教师：老师还没教，同学们就能做正确，真的了不起。小明的总评成绩是由哪几个成绩所决定的？
学生6：小明的总评成绩是由平时成绩、期中成绩、期末成绩三个成绩决定的。
教师：为什么要给他们一个百分比？
学生7：因为这三个成绩的重要性不一样，越重要的成绩赋予的百分比就越大。
教师：你的理解非常准确。这就是我们今天要研究的“加权平均数”，90叫做85、90、92的加权平均数，20％、30％和50％分别为85、90、92的权。在实际生活中，一组数据中各个数据的重要程度并不总是相同的，有时有些数据比其他数据更重要。所以，我们在计算这组数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”。一般地，对于n个数，，…，，它们的权依次为，，…，，则叫做这组数据的加权平均数。
教师：为什么称这种比例为“权”呢？老师来做个介绍：“权”这个字是有出处的，在古代“权”的本意是指秤砣，在《孟子•梁惠王上》书中记载“权，然后知轻重”，也就说在生活中，有了秤砣，我们可以知道东西的轻重，在一组数据中，有了权，我们就可以知道数据的相对重要程度。“加权”中的权可以理解为权重、份额的意思。权的表示无论是比例、百分数、频数，本质上都是一个比例。
教师：现在，请同学们回过头来看课前第一个尝试题的第三种解法：，你对它有新的认识吗？
学生7：结果121也可以看成是135、125、120、110的加权平均数，它们的权分别是1、3、4、2。
学生8：这告诉我们加权平均数与算术平均数在本质上是一致的，算术平均数可以看做是加权平均数的特殊形式，特殊在权均为1。
教师：现在，同学们能更好的解释为什么在第2个问题中的做法不对吗？
学生9：这个问题同样可以理解成加权平均数的问题，总的平均分由两个班的平均分决定，但两个班级的人数不一样，相当于它们的权重不一样，所以他的做法不对。
教师：从同学们的回答来看，同学们对加权平均数已经有了较深刻的理解了。
第四阶段：自学课本，内化新知
学生自学课本P125-127的例1和例2，自学要求为：（1）熟悉利用加权平均数的公式求一组数据的加权平均数的方法、步骤；（2）进一步体会“权”的作用及其对结果的影响。
（学生先自学课本，然后合作交流，通过多维互动解决学生自学课本过程中的问题。）
第五阶段：再次尝试，合作探究
1、教师出示尝试练习题：某学校招聘一名数学教师，对甲、乙两名候选人进行了四项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
甲
乙
数学知识
75
80
教学水平
70
普 通 话
85
粉 笔 字
90
（1）按算术平均数的计算方法，计算甲、乙两人各自的四项成绩的平均分，看看谁将被录取？
（2）你认为（1）中的录取方案合理吗？如果你认为合理，请简单说明理由；如果你认为不合理，请你设计一个较为合理的方案。
（3）如果学校认为数学知识、课堂教学、普通话、粉笔字三项成绩的重要程度不同，并赋予它们4∶4∶1∶1的权，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？
（学生先独立完成问题的解答，再组织学生小组合作学习，最后邀请学生大班展示。）
学生10：（阐述解题思路，展示解题过程）详细过程略。
教师：假如还有一个老师丙参加了测试，四项成绩分别为95、80、65、65，你能设计一个方案保证一定录取丙吗？
学生11：我的设计是：四项成绩的权分别为6:2:1:1；
学生12：我的设计是：四项成绩的权分别为9:1:0:0；
学生众笑：你也太狠了一点了吧。
教师：通过这个问题，你有怎样的感悟？
学生13：想要录取谁，只要把他的优势项目的分数的权重定的尽可能大一些。
教师：同学们，老师觉得这样做有失公平！怎么能先测试，再定录取方案呢？我们这个题的研究是一种“假设”。在实际生活中，为了保证公平、防止舞弊，我们必须先定录取方案、再进行测试，最有根据方案和成绩来录取。
第六阶段：当堂检测，训练反馈
教师分发当堂检测题（每题50分，共100分），要求学生做到细致认真，力争满分。
（1）某校八年级（1）班学生的年龄分布如下表：
年龄
13岁
14岁
15岁
人数
5
30
求这个班级学生的平均年龄。
（2）“广播站”招聘记者，面试包括采访写作、计算机和创意设计三部分，小明、小亮的面试成绩如下：
采访写作
计算机
创意设计
小明
60
86
小亮
51
广播站的负责人把采访写作、计算机和创意设计的成绩按5:2:3的比例计算两个人的面试成绩，按这种方法计算，谁将被录取？
（学生做完后，当堂交互批改，教师根据学生反馈的情况进行补偿教学。）
第七阶段：反思总结，感悟提升
教师：同学们，通过这节课的学习你有哪些收获？还有哪些疑惑？
学生14：今天，我们学习了加权平均数，知道了：在计算一组数据的平均数时，如果这组数据中各个数据的重要程度不相同，往往根据其重要程度，先分别给每个数据一个“权”，再计算它的加权平均数。
学生15：我学会计算一组数据加权平均数的方法。
学生16：算术平均数和加权平均数在本质上是一致的，算术平均数可以看做是每个数据的权均为1的加权平均数。
教师：伟大科学家爱因斯坦曾经说过的一句话“天才＝1%的灵感＋99%的汗水”，你能结合今天学习的加权平均数谈谈你对这句话的理解？
学生17：爱因斯坦认为：天才是由灵感和汗水共同决定的，其中灵感的权为1%，汗水的权为99%，99%远远大于1%，说明对于天才而言，汗水比灵感更重要。
教师：老师相信：在学习了加权平均数之后，同学们对这句话一定会有更深刻的体会。衷心希望同学们能将这句话落实自己的行动中，不断努力，走向成功！
第八阶段：课后延伸，夯实基础
课后回归课本，完成课本P127练习题，夯实基础。
二、教学反思
作为一名一线的教师，能够得到邱学华老师的亲自指导，对我来说，真的是感到非常荣幸。同时，在邱老师的指导下，让我对尝试教学法有了更深刻的认识。在今后的教学实践中，我将不断提高自己对尝试教学法的认识，以实际行动践行尝试教学法。
1、坚定“学生能尝试，尝试能成功”的信念
尝试教学法的灵魂在于“尝试”，也许有时学生的自主尝试的确会让学生绕了弯路，但是作为一名清醒的教育工作者，应该学会用战略的眼光看问题：当时好像绕了弯路，实际上是避免后来走更多的弯路；当时好像是放慢了脚步，事实上是为了后来走得更快。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生是有思维能力有情感意志的活生生的人，他们有思考、能表达，教师的教学不是把现成的知识灌输到学生的大脑里，而是要激发学生的兴趣，唤醒学生的大脑，引导学生在已有知识经验的基础上进行主动建构。因此，在教学中，教师应该充分相信学生能尝试，尝试能成功，凡学习之事，先让学生试一试。相信：只要教师放手，就一定会有学生的精彩。
2、遵循“先学后教、先练后讲”的教学策略
尝试教学法主张：“学生先试，教师后导”、“学生先练，教师后教”，其灵魂是在教师教学之前，必须保证学生有充足的独立思考的时间和空间，对教学内容及其相关问题先进行适当的尝试，亲身经历问题的探究过程，促使学生在自身已有知识经验的基础上进行主动建构．只有这样建筑在深入思考基础上的数学学习，才是“真正的数学学习”，才是主动的、富有个性的数学学习，才能置学生于“有问要提、有话可说、有理能辩”的境地，为后续的课堂交流准备充足的“素材”，让思维碰撞成为可能。在此基础上，教师根据学生的实际需要审时度势地“导”在关键处，通过有效提问和引起学生深思的追问，启迪学生的思维，帮助学生解疑释难。
3、落实“自学为主，练习为主”的教学要求
尝试教学法主张：数学教学应以尝试题引路，促使学生自觉的去自学课本，学生脑中有“书”，才能做到心中有“数”，自学课本便于学生掌握教材中的知识要点，强化学生对教材的本质理解；同时，尝试教学的课堂要求以尝试题为中心，形成一个多层次不断尝试的练习体系，引领学生在不断地尝试过程中，一步一步地有所提高，真正实现课堂教学由“以教为中心”向“以学为中心”的转变。
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