【邱学华小学数学教学漫谈】第五讲：笔算乘除法中的难点与解决的策略
常州大学尝试教育科学研究院 / 邱学华
笔算乘除法内容，一向不被教师重视，被认为没有思维含量，加上受“简化笔算”的影响，所以教师很少关注相关的教学问题，教育刊物中也很少发表这方面的文章。
笔算乘除法的基础是20以内加减法和表内乘除法口算，如果口算不过关，学生还是会做错。对学生来说，笔算乘除法的计算过程复杂，枯燥乏味，稍不留神就会做错，挨批评，所以，他们也不喜欢这部分内容。
根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定，在第一学段，教学一位数乘两、三位数，两位数乘两位数；一位数除两、三位数。在第二学段，教学三位数乘两位数，三位数除以两位数。
整数笔算乘法教材安排分两个阶段：“万以内”阶段学乘数是一位数和两位数的乘法；“亿以内”阶段学乘数是三位数的乘法。除法教材安排也分两个阶段：“万以内”阶段学除数是一位数的除法；“亿以内”阶段学除数是两位数的除法。
乘数是一位数的乘法是乘法的基础，教材编排步子较细，由易到难，循序渐进。在四则计算中，除法是比较困难的，而且非常重要。有人问一位数学家，小学数学中什么内容对今后学习关系较大？他回答说：一个是除法，一个是分数。而除法同分数又有关联。学生做除法难的主要原因有：
其一，竖式的书写形式特殊。加、减、乘三种竖式的形式基本一致。除法就不同，用“丿——”把除数和被除数左右分开，商和被除数上下隔开。
其二，运算时思考方法复杂。加法和减法只是一种单一方法的计算；乘法运算，除了乘法还要用到加法；除法运算，则要用到加法、减法、乘法三种运算，其中只要有一种运算出错，就做错了。
其三，计算难度大。除法运算首先要试商，如果学生没有一定的口算能力，就会受阻。除的结果往往有余数，看了商数，还要看余数，还要考虑商书写的位置，真是层层有难。
由于除法计算复杂，难度大，所以教材编排分步较细，由浅入深，分步递进。用一位数除和用两位数除，分别都有多道例题，教师要仔细分析研究，每道例题的特点和作用。
乘法的难点是什么？我们可从学生的错例分析中找到。下面，我以68×8为例，呈现5种错例：
不难看出，前4题都是由于没有掌握计算法则而造成的。教学时，教师要认真讲清进位的方法，并多做示范，在课堂上要多让学生做板演，以便及时发现错误。起步要慢，不能贪快。当错误发生后，教师要及时纠正或进行个别辅导。
第5题错例，并不是学生没有掌握计算法则，而是由于学生的基本口算不熟练造成的。根据调查分析，这种错误所占比重很大，应该引起重视。
所以，笔算乘法的错误根子还在基本口算不熟练。如果发现学生笔算乘法错误多，就多练笔算乘法，这是“头痛医头，脚痛医脚”的办法。教师应该从根子上解决问题，抓基本口算训练。
进行乘法计算的基础是乘法和加法两步计算，特别是乘过以后加法又要进位的，学生比较难掌握，因为它既要熟练掌握乘法口诀，又要熟练掌握加法口诀，思维过程比较复杂。例如，6×8+6，7×7+5，4×7+3，3×9+6……有些学生口算能力差，遇到这种情况，只能在笔算外面再做“小笔算”（列竖式计算两位数加一位数）。做多位数乘法，如果学生连48+6=54这一类题都不熟练，还得做多次“小笔算”，错误的概率自然大。这样做一道乘法题该多费力啊！
解决进位难点的办法，主要是加强乘加两步计算的基本训练，用口算促进笔算。如6×8+7，关键又落在尾数8+7的口算，如果有加法口诀，八七15，就能很快得出结果55。这里又能看到加法口诀的神威，加法口诀能够解决乘法进位的困难，是有科学依据的。所以，笔算教学时，教师一定要加强口算基本训练，可以补教加法口诀，练习乘加两步计算。如果学生对乘加两步计算能力达到了“一望而知”的熟练程度，基本上就可以解决这个问题了。所以说，不能以“笔”治“笔”，应该以“口”治”笔”。
对学习有困难的学生，在个别辅导时，教师可允许他们把进位数写在草稿纸上，也可以用“左手助记法”（就是用左手记住进位的数目，如进4就用左手伸出4个指头，如进6就伸出大拇指和食指），避免把进位的数目忘记，以后再慢慢脱离这些助记的方法。
用两位数乘的难点，主要是部分积的对位问题。写部分积的位置，学生往往会出现如下错误：教学时，教师要重点突出每一部分积写的位置。为了说明道理，教师可以把算式先拆开计算，然后再合并。要使学生清楚地理解两个部分积的排列要相错一位，实质上是要把相同数位对齐，然后再相加。例如：
教师要让学生多练习几道第一式的分解计算，加深印象，让学生感到每次都写“0”比较麻烦，可以省去不写。学生有了这种"感觉"，再过渡到第二式就水到渠成了。教师还可以进一步引导学生观察，不论乘数十位上的数是几，第二部分积的个位上都是“0”，两个部分积相加，0与任何数相加，还是这个数，所以0可以省略不写。
前面已经谈到，四则计算中除法最难，难点很多，由于篇幅所限，不能一一论述。以下，我主要谈三个难点。
其一，商的定位困难。教师在讲解除法的计算法则时，特别要突出两条：一是除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位上面；二是每次除得的余数必须比除数小。教师可引导学生作专项训练。如：
这种训练免除了学生计算的麻烦，能够把注意力集中到确定商的位置上，同时也渗透了估算的思想，让学生找到规律。
其二，乘加两步计算以及乘法计算的困难。乘法是除法的基础。除法计算过程中，经过试商后，就要用乘法计算，如果乘法计算过程中有一步算错，就会造成整个计算错误。例如：
这种情况的计算错误比重很大。为什么有些学生平常单独做乘法不会错，而在做除法时用到乘法计算却会错呢？这是因为这里的乘法计算同单独做乘法笔算不一样。乘法笔算是竖式计算，而这里的乘法类似横式计算（不列出竖式，直接写出计算结果），形式不同（如下）。
学生平时用上述形式训练的机会少，所以在做除法时就会发生困难。这一点，过去往往被忽视了。今后在教除法时，教师可以让学生作如下形式的乘法计算专项训练：
如果经常进行这方面的基本训练，学生就能减少除法计算的错误率。在教乘法时，教师也要多让学生练两位数乘一位数的横式计算。以下面48×9为例：
很多学生都错在36+7这一步上，毛病还在20以内加法上，如果有背熟加法口诀，立即反应七六13，就能正确无误地过关了。这里看出在笔算除法中，还要用到加法口诀。我为什么反复强调熟记加法口诀的重要性，甚至到了苦口婆心的地步，就是这个道理。我们要从四则计算的全局上认识问题。
其三，试商的困难。用两位数除最大的困难在于试商。而试商的方法较多，教师不必都教给学生，这并不是算法多样化，否则反而使学生无所适从。按照教材要求，一般用四舍五入法把除数看成与它接近的整十数进行试商。事实上这也是一种估算。
前面提到用两位数除的基础是一位数乘两位数的口算，如56×8、48×6、28×7……学生这方面的口算能力提高了，就能在试商过程中自行调整。这里进一步证明“口算是笔算的基础”的科学论断。
教学中，教师要让学生多进行试商的专项训练——运用口算卡片，上面写着除式，要求学生很快说出商是几。例如：
小数乘除法的竖式形式和计算法则同整数乘除法基本一致，只是多了小数点的处理问题。学生掌握如何确定积或商的小数点的位置，是小数乘除法教学的难点和关键。
我们先从几则小数乘法中的错例，分析学生常见的错误，从中发现规律，加以纠正。
消除以上错误，除了要讲清楚算理，还需进行专项对比训练。如：
小数除法计算，最难的是除数是小数的除法。计算时，首先要把除数转化为整数，除数扩大了，被除数也要相应扩大，因此在竖式中小数点划来划去，学生搞不清楚了。例如：
改来改去，划来划去，最后学生看不清，商的小数点应该在哪里。
我经过反复研究，并进行数学实验，设计了一种“提前化整”的方法解决这个难点。“提前化整”是在横式上提前进行小数点的处理，把小数化为整数处理，再写竖式，转化成除数是整数的除法。同样用上例分析（如下），这种“提前化整法”说理清楚，学生很容易接受，大大降低了错误率。
“提前化整法”可作专项训练，既可巩固小数基本性质的概念，又为除数是小数的除法教学打好基础。举例如下：
75÷0.25=7500÷25 7.5÷0.25=750÷25
75÷2.5=750÷25 7.5÷0.025=7500÷25
0.75÷2.5=7.5÷25 0.075÷2.5=0.75÷25
整数乘除法和小数乘除法内容较多，几乎横跨三、四、五3个年级。本文重点谈如何解决教学中的难点。综上所述，我主要教给大家两个诀窍：
其一，解决乘除法中的难点，关键要有熟练的基本口算作基础。我提出的“口算是笔算的基础”“计算要过关，必须抓口算”的观点，是有科学依据的，是切合实际教学情况的。所以，有人认为笔算不过关就多练笔算，这种“以笔治笔”不能对症下药。相反，“以口治笔”才是科学的办法。所以，中高年级还必须重视口算训练，特别要补教加法口诀。
其二，我设计了多种专项训练，既能有效地突破难点，又能减轻学生作业负担。笔算乘除法比较繁难，计算步骤如果都要从头做起，既费时间，学生又讨厌。如果只做专项训练，就能练在刀口上，讲在要害处。■
（邱老师邮箱：13776884613@126.com）
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