【邱学华小学数学教学漫谈】第五讲:笔算乘除法中的难点与解决的策略

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【邱学华小学数学教学漫谈】第五讲:笔算乘除法中的难点与解决的策略

* 来源 : * 作者 : admin * 发表时间 : 2017-09-19 * 浏览 : 245

常州大学尝试教育科学研究院 / 邱学华


笔算乘除法内容,一向不被教师重视,被认为没有思维含量,加上受“简化笔算”的影响,所以教师很少关注相关的教学问题,教育刊物中也很少发表这方面的文章。

笔算乘除法的基础是20以内加减法和表内乘除法口算,如果口算不过关,学生还是会做错。对学生来说,笔算乘除法的计算过程复杂,枯燥乏味,稍不留神就会做错,挨批评,所以,他们也不喜欢这部分内容。

笔算乘除法的计算原理和计算法则,是数值计算的基础,高一级的数学计算以及物理化学中的公式计算仍需运用。因此,我们要从深层次分析,不但要看到眼前的知识,更要看到背后所蕴藏的精神。

教材编排的特点

根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》规定,在第一学段,教学一位数乘两、三位数,两位数乘两位数;一位数除两、三位数。在第二学段,教学三位数乘两位数,三位数除以两位数。

整数笔算乘法教材安排分两个阶段:“万以内”阶段学乘数是一位数和两位数的乘法;“亿以内”阶段学乘数是三位数的乘法。除法教材安排也分两个阶段:“万以内”阶段学除数是一位数的除法;“亿以内”阶段学除数是两位数的除法。

乘数是一位数的乘法是乘法的基础,教材编排步子较细,由易到难,循序渐进。在四则计算中,除法是比较困难的,而且非常重要。有人问一位数学家,小学数学中什么内容对今后学习关系较大?他回答说:一个是除法,一个是分数。而除法同分数又有关联。学生做除法难的主要原因有:

其一,竖式的书写形式特殊。加、减、乘三种竖式的形式基本一致。除法就不同,用“丿——”把除数和被除数左右分开,商和被除数上下隔开。

其二,运算时思考方法复杂。加法和减法只是一种单一方法的计算;乘法运算,除了乘法还要用到加法;除法运算,则要用到加法、减法、乘法三种运算,其中只要有一种运算出错,就做错了。

其三,计算难度大。除法运算首先要试商,如果学生没有一定的口算能力,就会受阻。除的结果往往有余数,看了商数,还要看余数,还要考虑商书写的位置,真是层层有难。

由于除法计算复杂,难度大,所以教材编排分步较细,由浅入深,分步递进。用一位数除和用两位数除,分别都有多道例题,教师要仔细分析研究,每道例题的特点和作用。

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笔算乘法的难点以及解决策略

乘法的难点是什么?我们可从学生的错例分析中找到。下面,我以68×8为例,呈现5种错例: 

不难看出,前4题都是由于没有掌握计算法则而造成的。教学时,教师要认真讲清进位的方法,并多做示范,在课堂上要多让学生做板演,以便及时发现错误。起步要慢,不能贪快。当错误发生后,教师要及时纠正或进行个别辅导。

第5题错例,并不是学生没有掌握计算法则,而是由于学生的基本口算不熟练造成的。根据调查分析,这种错误所占比重很大,应该引起重视。

所以,笔算乘法的错误根子还在基本口算不熟练。如果发现学生笔算乘法错误多,就多练笔算乘法,这是“头痛医头,脚痛医脚”的办法。教师应该从根子上解决问题,抓基本口算训练。

进行乘法计算的基础是乘法和加法两步计算,特别是乘过以后加法又要进位的,学生比较难掌握,因为它既要熟练掌握乘法口诀,又要熟练掌握加法口诀,思维过程比较复杂。例如,6×8+67×7+54×7+33×9+6……有些学生口算能力差,遇到这种情况,只能在笔算外面再做“小笔算”(列竖式计算两位数加一位数)。做多位数乘法,如果学生连48+6=54这一类题都不熟练,还得做多次“小笔算”,错误的概率自然大。这样做一道乘法题该多费力啊!

解决进位难点的办法,主要是加强乘加两步计算的基本训练,用口算促进笔算。如6×8+7,关键又落在尾数8+7的口算,如果有加法口诀,八七15,就能很快得出结果55。这里又能看到加法口诀的神威,加法口诀能够解决乘法进位的困难,是有科学依据的。所以,笔算教学时,教师一定要加强口算基本训练,可以补教加法口诀,练习乘加两步计算。如果学生对乘加两步计算能力达到了“一望而知”的熟练程度,基本上就可以解决这个问题了。所以说,不能以“笔”治“笔”,应该以“口”治”笔”。

对学习有困难的学生,在个别辅导时,教师可允许他们把进位数写在草稿纸上,也可以用“左手助记法”(就是用左手记住进位的数目,如进4就用左手伸出4个指头,如进6就伸出大拇指和食指),避免把进位的数目忘记,以后再慢慢脱离这些助记的方法。

用两位数乘的难点,主要是部分积的对位问题。写部分积的位置,学生往往会出现如下错误:

教学时,教师要重点突出每一部分积写的位置。为了说明道理,教师可以把算式先拆开计算,然后再合并。要使学生清楚地理解两个部分积的排列要相错一位,实质上是要把相同数位对齐,然后再相加。例如:


教师要让学生多练习几道第一式的分解计算,加深印象,让学生感到每次都写“0”比较麻烦,可以省去不写。学生有了这种"感觉",再过渡到第二式就水到渠成了。教师还可以进一步引导学生观察,不论乘数十位上的数是几,第二部分积的个位上都是“0”,两个部分积相加,0与任何数相加,还是这个数,所以0可以省略不写。


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笔算除法中的难点以及解决的策略

前面已经谈到,四则计算中除法最难,难点很多,由于篇幅所限,不能一一论述。以下,我主要谈三个难点。

其一,商的定位困难。教师在讲解除法的计算法则时,特别要突出两条:一是除到被除数的哪一位,就把商写在哪一位上面;二是每次除得的余数必须比除数小。教师可引导学生作专项训练。如:



这种训练免除了学生计算的麻烦,能够把注意力集中到确定商的位置上,同时也渗透了估算的思想,让学生找到规律。

其二,乘加两步计算以及乘法计算的困难。乘法是除法的基础。除法计算过程中,经过试商后,就要用乘法计算,如果乘法计算过程中有一步算错,就会造成整个计算错误。例如:


这种情况的计算错误比重很大。为什么有些学生平常单独做乘法不会错,而在做除法时用到乘法计算却会错呢?这是因为这里的乘法计算同单独做乘法笔算不一样。乘法笔算是竖式计算,而这里的乘法类似横式计算(不列出竖式,直接写出计算结果),形式不同(如下)。


学生平时用上述形式训练的机会少,所以在做除法时就会发生困难。这一点,过去往往被忽视了。今后在教除法时,教师可以让学生作如下形式的乘法计算专项训练:


如果经常进行这方面的基本训练,学生就能减少除法计算的错误率。在教乘法时,教师也要多让学生练两位数乘一位数的横式计算。以下面48×9为例:


很多学生都错在36+7这一步上,毛病还在20以内加法上,如果有背熟加法口诀,立即反应七六13,就能正确无误地过关了。这里看出在笔算除法中,还要用到加法口诀。我为什么反复强调熟记加法口诀的重要性,甚至到了苦口婆心的地步,就是这个道理。我们要从四则计算的全局上认识问题。

其三,试商的困难。用两位数除最大的困难在于试商。而试商的方法较多,教师不必都教给学生,这并不是算法多样化,否则反而使学生无所适从。按照教材要求,一般用四舍五入法把除数看成与它接近的整十数进行试商。事实上这也是一种估算。

前面提到用两位数除的基础是一位数乘两位数的口算,如56×848×628×7……学生这方面的口算能力提高了,就能在试商过程中自行调整。这里进一步证明“口算是笔算的基础”的科学论断。

教学中,教师要让学生多进行试商的专项训练——运用口算卡片,上面写着除式,要求学生很快说出商是几。例如:


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小数乘除法中的难点以及解决的策略

小数乘除法的竖式形式和计算法则同整数乘除法基本一致,只是多了小数点的处理问题。学生掌握如何确定积或商的小数点的位置,是小数乘除法教学的难点和关键。

我们先从几则小数乘法中的错例,分析学生常见的错误,从中发现规律,加以纠正。


消除以上错误,除了要讲清楚算理,还需进行专项对比训练。如:


小数除法计算,最难的是除数是小数的除法。计算时,首先要把除数转化为整数,除数扩大了,被除数也要相应扩大,因此在竖式中小数点划来划去,学生搞不清楚了。例如:


改来改去,划来划去,最后学生看不清,商的小数点应该在哪里。

我经过反复研究,并进行数学实验,设计了一种“提前化整”的方法解决这个难点。“提前化整”是在横式上提前进行小数点的处理,把小数化为整数处理,再写竖式,转化成除数是整数的除法。同样用上例分析(如下),这种“提前化整法”说理清楚,学生很容易接受,大大降低了错误率。


“提前化整法”可作专项训练,既可巩固小数基本性质的概念,又为除数是小数的除法教学打好基础。举例如下:

75÷0.25=7500÷25  7.5÷0.25=750÷25

75÷2.5=750÷25   7.5÷0.025=7500÷25

0.75÷2.5=7.5÷25   0.075÷2.5=0.75÷25

整数乘除法和小数乘除法内容较多,几乎横跨三、四、五3个年级。本文重点谈如何解决教学中的难点。综上所述,我主要教给大家两个诀窍:

其一,解决乘除法中的难点,关键要有熟练的基本口算作基础。我提出的“口算是笔算的基础”“计算要过关,必须抓口算”的观点,是有科学依据的,是切合实际教学情况的。所以,有人认为笔算不过关就多练笔算,这种“以笔治笔”不能对症下药。相反,“以口治笔”才是科学的办法。所以,中高年级还必须重视口算训练,特别要补教加法口诀。

其二,我设计了多种专项训练,既能有效地突破难点,又能减轻学生作业负担。笔算乘除法比较繁难,计算步骤如果都要从头做起,既费时间,学生又讨厌。如果只做专项训练,就能练在刀口上,讲在要害处。■

(邱老师邮箱:13776884613@126.com)