五年级 第一讲 三角形数

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五年级 第一讲 三角形数

* 来源 : * 作者 : admin * 发表时间 : 2020-02-07 * 浏览 : 67

同学们,你们注意到了没有?生活中,有不少东西是如下图这样排列或叠放的:

1.你能算出每堆各有多少个吗?

2.能不能把9个物体按上面的规律排成一个横截面是三角形的一堆呢?

3.能不能把25个物体按上面的规律排成一个横截面是三角形的一堆呢?

 


它们按照一定的规律排成了三角形。为了便于我们研究此类问题,现在我们用圆点来表示这些物体,排列如下,


像上面的l、3、6、10、15这些能够表示成三角形的形状的总数量的数,叫做三角形数。

由此可知,上面说的“9个点”是不能排列成一个三角形的,也就是说,9不是一个三角形数。同理,25也不是一个三角形数。


【例1】数一数,下面的苹果,每堆各个几个,有什么规律?如果继续下去,第9堆是多少个?第22堆是多少个?



【思路点拨】这看似一个简单的问题,但我们应该学会“举一反三找规律”这一学习与探究的方法。先找到规律,再运用规律来分析问题和解决问题。

为了能方便地看出规律,我们把上面的三角形数改排成如下图。


【例2】第几个三角形数是406?

【思路点拨】根据上面例题中找到的规律,我们用“反推法”来解答。

解:设第N个三角形数是406。

因为N个自然数的和是406,也即(1+N)·N÷2=406。于是,(1+N)·N=812,由此可以知道两个相邻数的乘积是812。把812分解成多个数的乘积,812=2×2×7×29,很容易想到812=28×29,N=28。

答:第28个三角形数是406。

观察这些三角形数,你发现它们有什么规律吗?

1.原来三角形数是从l开始的连续自然数的和。

l是第一个三角形数,3是第二个三角形数,6是第三个三角形数,10是第四个三角形数,15是第五个三角形数……

那么,第七个三角形数就是:l+2+3+4+5+6+7=28; 第九个三角形数就是:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45; 第十个三角形数就是:1+2+3+…+10=55…… 第100个三角形数就是:l+2+3+…+100=5050。

2.进一步地,我们还可以发现如下规律:后一个三角形数总是比前一个三角形数多最下面一层,也就是多的个数正好等于这个三角形数的“数标”。举例说明:第10个三角形数比第9个三角形数多10,第100个三角形数比第99个三角形数多100,以此类推。


特别地,如果知道了第几个三角形数是多少,要求是第几个三角形数,就要设未知数N,推断可能是哪两个相邻数的乘积,进而推断是第几个三角形数。



你能解答出下面各题吗?争取100分哟!(每题20分,共100分)

 

1.第15个和第16个三角形数相差多少?

 

 

 

2.第17个三角形数比第18个三角形数少多少?

 

 

 

3.用点子画出第10个三角形数,数一数一共有多少个点子?

 

 

 

4.求l+2+3+…+30的和,它是第几个三角形数?

 

 

 

5.第40个三角形数是多少?

 


奇妙的“三角形数”

从第1个三角形数到第18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……

第n个三角形数的公式是  ,第n个三角形数是开始的n个自然数的和。

开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 =102

所有三角形数的倒数之和是2。

任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。比如,1×8+1=9,是3的平方;3×8+1=25,是5的平方;6×8+1=49,是7的平方……

一部分三角形数(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式来表示:n × (2n + 1);而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用n × (2n - 1)来表示。

55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。

第11个三角形数(66)、第1111个三角形数(617,716)、第111,111个三角形数(6,172,882,716)、第11,111,111个三角形数(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形数,但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。

三角形数还有一个特点就是:如果将所有边形的数都整整齐齐地由左到右画在表格里,你就会发现:表格中每一列的数间隔都一样,而且均为前一列的三角形数(如下表)。

三角形数

1

3

6

10

15

21

28

36

正方形数

1

4

9

16

25

36

49

64

五边形数

1

5

12

22

35

51

70

92

六边形数

1

6

15

28

45

66

91

120


例如,表格第2列3、4、5、6,间隔为1;表格第3列6、9、12、15,间隔为3。而且间隔数1和3,正好也是相应的前一列的三角形数。