六年级 第一讲 数列的计算

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六年级 第一讲 数列的计算

* 来源 : * 作者 : admin * 发表时间 : 2020-02-07 * 浏览 : 81

同学们,你们知道数列吗?它是一列有序的数。这些数列有时就像一个梯田一样美丽!

 



请你仔细观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律在括号中填上合适的数。

(1)1,2,4,8,16,( ),64,128;

(2)45,36,28,21,( ),10,6,3,1;

(3)1,2,6,24,120,( ),5040;

(4)32,16,48,24,72,36,( ),54,162;


同学们填出来了吗?



 按照一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都是这个数列的项。数列问题一般有两类:一是找规律,求出数列中的某一项;二是求数列中某些项的和。

通过找规律,我们慢慢地就能解决上面的问题,他们的答案如下:




【例1】计算下列各数的值。

(1) 1+3+5+7+9+…97+99

(2) (2+4+6+8+…1998+2000+2002)-(1+3+5+7+…+1997+1999+2001)

【思路点拨】仔细观察(1)式中各数的特点,发现这是一个等差数列,共有50个数,相邻两数的差(称为公差)为2,首项为1,末项为99。如果将这50个数分组,可得

1+3+5+7+9+…97+99=(1+99)+(3+97)+(5+95)+…+(49+51),这样的和共共50÷2=25组。于是:

原题=100+100+100+…+100 (共25个)

  =100×25

  =2500

由此可得到等差数列的和的计算公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2。

在(2)式中只要分别求出2+4+6+8+1998+2000+20021+3+5+7++1997+1999+2001的和就可以了。这两个数列都是等差数列,如能知道它们的项数,就可运用等差数列的求和公式了。

在等差数列中有,第2项=首项+公差,第3项=首项+公差×2,第4项=首项+公差×3……末项=首项+公差×(项数-1),所以,项数=(末项-首项)÷公差+1。

因此,2+4+6+8+1998+2000+2002的项数为(2002-2)÷2+1=1001

于是,2+4+6+8+1998+2000+2002=(2+2002)×1001÷2=1003002

1+3+5+7++1997+1999+2001=(1+2001)×1001÷2=1002001

所以,(2+4+6+8+…1998+2000+2002)-(1+3+5+7+…+1997+1999+2001)=1003002-1002001=1001。

 

【例2】20个连续偶数的和为2380,那么这些数中最大的偶数是多少?

【思路点拨】20个连续的偶数组成一个数列,由于相邻两项的差都是2,所以是等差数列,可知,第2项=第1项+2,第3项=第1项+4,…末项=第1项+(20-1)×2,即20项=第1项+38。下面我们可设首项是X,根据“等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2”列方程来解答这个问题。

解:设设首项为X,列方程得:2380=(X+X+38)×20÷2,2X=200,X=100

所以,最大偶数为100+38=138。


【思路点拨】

同学们不妨先观察一下每一个分数的分子和分母,找出这一串分数排列的规律:

分母是1的分数有几个?分母是2的分数有几个?它的分子是怎样排列的?分母是3或4的分数呢?不难看出:


是第71个分数和第75个分数。

对于第二个问题“第330个分数是几分之几”的解答,这个有一定的难度。我们可以这样思考:

分母是1,2,3,4,5,6,7,8,9,…的分数个数分别是1,3,5,7,9,11,13,15,…,经过试算,分母从1到18,共有分数的个数是:1+3+5+…+35=324(个),从第325个开始是分母为19的分数,




任何事物的发展变化都是有规律可循的,解决数列问题,关键是找出规律。

  要找规律,就要靠细致的观察和认真的比较,分析,有时还必须先考虑几个简单的问题,作一些简单的试算与推理,慢慢地我们一定会找到变化的规律。然后,我们就可以运用这个规律,去解决类似的问题了。

 


你能解答出下面各题吗?争取100分哟(每题20分,共100分)

 

1.计算:1900+1904+1908+……+2004+2008

 

 

 

2. 写成循环小数后,小数点后第200个数字是几?

 

 

 

 

 

4.21个连续自然数的和是2016,求这21个数中最小的数是多少?

 

 

 

5.1~1991这1991个自然数中,所有的奇数之和与所有的偶数之和的差是多少?


有女善织与有女不善织

 

“有女善织”是我国古代《九章算术》中的一个有趣的问题。该问题大意是:有一个善于织布的妇女,每天织的布都比上一天翻一番,五天共织了五匹布,问她五天各织了多少丈布?(古时一匹等于4丈)

要求这个妇女五天各织多少布?关键是要求出第一天织了多少布。由题目可知,“五天共织了五匹布”。每天织布量只知道“都比上一天翻一番”。根据这一条件,我们可以这样思考:设第一天的织布量为“1”,那么翻一番后第二天到第五天的织布量分别为“2”、“4”、“8”、“16”。


的布应该是这个数的一半,即180÷2=90(尺)。

上面的这些运算技巧给我们带来很多的启示,值得我们去学习与借鉴。