六年级 第二讲　数的奇偶性

同学们，在一年级的时候，我们已经知道单数、双数。现在他有新的名字，你知道吗？它叫奇数、偶数！

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。自然数中，不是奇数就是偶数，是偶数就不可能是奇数，一个数是奇数还是偶数是这个数本身的属性，我们把它称作奇偶性。在自然数中，我们可以发现，奇数偶数是按着一定次序交替出现的，同时，我们可以证明以下几条规则（请试着填一填）：

（1） 奇数＋奇数＝（　　）

（2） 奇数－奇数＝（　　）

（3） 偶数＋偶数＝（　　）

（4） 偶数－偶数＝（　　）

（5） 奇数＋偶数＝（　　）

（6） 奇数（偶数）－偶数（奇数）＝（　　）

（7） 奇数×奇数＝（　　）

（8） 偶数×偶数＝（　　）

（9） 奇数×偶数＝（　　）

（10） 一个偶数，如果能被奇数整除，商一定是（　　）

（11） 一个奇数，如果能被另一个奇数整除，商一定是（　　）。

如果你填好了上面奇偶规则，我们就解决一个趣味数学题，你能挑战一下吗？

比如，1×3×5×7×……×2003的积是奇数还是偶数呢？我们能不能不用去乘（当然你也不可能乘出得数），就能马上知道它一定是奇数或者偶数呢？

上面的规则看似条数很多，其实我们很容易想通的。

它们的答案依次是：偶数、偶数、偶数、偶数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数、偶数、偶数。如果不相信，你可以用数据代进去试试，验证一下对不对。

至于1×3×5×7×……×2003的积，是奇数还是偶数呢？也许你已经想到了！是的，根据上面的“奇数×奇数＝奇数”的规则，你已经确认：它的乘积一定是奇数！

所以，如果我们能够灵活运用数的奇偶性，就可以解决类似的有趣的数学问题。

【思路点拨】

因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少格点就转了多少次弯。我们把原来格子图的每个交叉点都交替摆上黑子和白子，如右图所示。这时，我们发现电动老鼠从黑点A出发，到达任何一个黑点都是转了奇数次弯，而它回到A点又正好是黑点，所以它应该是奇数次弯，所以甲的说法是正确的。

【例2】数学奥林匹克竞赛初赛试题共22题，计分方法是：起点分11分，答对一题加5分，不答一题倒扣1分，答错一题倒扣3分。试问：1993个同学参赛，则所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？

【思路点拨】

我们要弄清同学们在不同的答题状况下，所得的分是奇数还是偶数，然后再综合进行考虑才行。分类如下：

（1）对每一位参赛者来说，22题全答对可得11＋5×22＝121（分）

（2）不答一题，实际得分为121－（5＋1）＝115（分）。如果几题不答，实际得分为121－6的倍数分，因为6的倍数分一定是偶数，所以几题不答，实际得分数是一个奇数。

（3）答错一题，实际得分为121－（5＋3）＝118（分）。如果答错几题，实际得分为121－8的倍数分，因为8的倍数分一定是偶数，所以答错几题，实际得分数也是一个奇数。

（4）如果不答一题，答错一题，实际得分为121－6－8＝107（分）。如果几题不答，答错几题，实际得分数为121－8的倍数分，仍然是一个奇数。

这样，对每一位参赛者，不答，答错，或全答对，得分都是奇数，那么1993名参赛者得分的总和一定是奇数。

【例3】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。规定每人只要接到对方贺年卡，就一定回赠贺年卡。在这些人中，有人送出去奇数张贺卡，有人送出去偶数张贺卡。那么，送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

【思路点拨】

由于是两人互送贺年卡，送出去一张必定回收到一张。那么，贺年卡的总张数应是2的倍数，所以贺年卡的总张数一定是偶数。

又因为送贺年卡的人可以分为两种：

一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。

另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数—所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数—偶数=偶数。

下面一种人送出的贺年卡为偶数，又是2的倍数，由此推断送出奇数张贺年卡的总人数必定是偶数。

你能解答出下面各题吗？争取100分哟！（每题20分，共100分）

1．能从下图任意选出5个数，使它们的和等于30吗？为什么？

2．小明买了一本88页的练习本，并依次将每张纸的正反两面都编上页码（即从第一页编到第88页）。小明的妹妹从这本练习本中撕下19张纸，并将写在它们上面的页码相加。试问：小明的妹妹所加的得数能不能等于2004？

3．任意给出一个三位数abc，把它的三位数字任意进行改变，得到一个新的三位数。请问：这两个三位数的和能不能等于999？

4．33个小朋友做游戏，每一次均有8个小朋友向后转，问能不能经过这样的若干次的向后转，使所有的小朋友全部转过身去？

5．下图是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数。甲说：我打了六枪，每枪都中靶得分，共得了27分。乙：:我打了3枪，每枪都中靶得分，共得了27分。

 已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是谁？

铺砖难题

布朗先生的院子铺了40块方砖，这些砖已经坏了，他想换新的。

他要买一批新砖，不巧的是这些新砖是长方形的，每块大小等于原来的两块。

店主：布朗先生，你想要多少块砖？

布朗先生：我要更换40块方砖，我想20块就够了。

当布朗先生用新砖铺院子的时候，问题出来了，无论怎么干，这些新砖都不合适。

贝基：爸爸，有什么麻烦事？

布朗先生：这些该死的新砖不合适，最后总有两块旧方砖的位置无法盖住。

布朗先生的女儿画了院子的平面图，并像棋盘一样着了色，然后她研究了几分钟。

贝基：噢！我明白毛病出在哪儿了，当你看到一块矩形（长方形）砖只能覆盖一块红的和一块白的方砖时，问题就显露出来了。

怎样借助这个图来分析问题？你明白贝基的意思了吗？

现在有19块白的方砖和21块红的方砖，当19块矩形铺上以后，肯定有2块红色方砖没有盖上，这是矩形砖无法铺盖的，除非将其一分为二。